Inégalités classiques

Inégalité de Cauchy-Schwartz

$\forall V,W \in E$

$$V\centerdot W \leq \vert\vert V\vert\vert\times\vert\vert W\vert\vert$$

Démonstration

$\forall \lambda \in \mathbb{R}$ $\vert\vert V + \lambda W\vert\vert² \geq 0$
$\vert\vert V\vert\vert²+ \lambda ² \vert\vert W\vert\vert² + 2 \lambda V\centerdot W \leq0$
$\vert\vert W\vert\vert² \lambda + 2 V\centerdot W \lambda + \vert\vert V\vert\vert²$ est un polynôme du type $a\lambda ² + b\lambda + c$. Il faut que $\Delta \leq 0$ pour que ce soit positif ou nul, il n'y aura alors que des valeurs imaginaires ou la racine double (cas $=0$).
$\Delta \leq 0 \Longleftrightarrow 4(V \centerdot W )² - 4 \vert\vert V\vert\vert² \vert\vert W\vert\vert² \leq 0$
$V \centerdot W \leq \vert\vert V\vert\vert~\vert\vert W\vert\vert$

Forme utilisable dans $\mathbb{R}^n$

$$V=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right ) W=\left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right )$$

$$(x_1y_1 + \hdots + x_ny_n ) \leq \sqrt{x_1² + \hdots x_n²}\times \sqrt{y_1²+ \hdots y_n²}$$

Inégalités triagulaires

$\forall V$, $W\in E$,

$$\vert\vert V+W \vert\vert = \vert\vert V\vert\vert + \vert\vert W\vert\vert$$

Démonstration :
$\vert\vert V+W \vert\vert² = \vert\vert V\vert\vert² + \vert\vert W\vert\vert² + 2V\centerdot W$
$\leq \vert\vert V\vert\vert² + \vert\vert W\vert\vert² + 2 \vert\vert V\vert\vert~\vert\vert W\vert\vert$
$\leq (\vert\vert V\vert\vert + \vert\vert W\vert\vert)²$

Expression dans $\mathbb{R}^n$ de cette inégalité

$$\sqrt{ (x_1+y_1)² + (x_2+y_2)² + \hdots + (x_n+y_n)² } \leq \sqrt{ x_1² + \hdots x_n²} + \sqrt{y_1² + \hdots y_n²}$$

Exercice n^&cir#circ;21

Intégrations par parties

Sachant $\int_{-\infty}^\infty e^{-x²}dx = \sqrt{\pi}$, calculer l'horreur suivante : $\int_{-\infty}^\infty x²e^{-x²}dx$

$$\int_a^b u(x) v'(x) dx = \left[ u(x) v(x) \right] _a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} x²e^{-x²}dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} x \times 2xe^{-x²} dx$$

$u=x$, $v'=2xe^{-x²}$
$u'=1$, $v=-e^{-x²}$

$$\frac{1}{2} \left[ x \times \left( -e^{-x²} \right) \right] _\infty^\infty + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x²} dx$$

On remarque que pour le premier terme on a $\lim_{x\to\pm\infty}xe^{-x²}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{e^{-x²}}=0$ par puissances comparées, donc en remplacant avec l'égalité de l'ennoncé, on obtient :

$$=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$$