Produits scalaires et bases

Soit $E$ un ev, $B={e_1,\hdots,e_n}$ base de $E$ et $q_{i,j}=e_1\centerdot e_j$.
Soient $V=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right )$ et $W=\left( \begin{array}{c} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{array} \right )$.

Proposition:

$$V\centerdot W = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}q_{ij}x_iy_j$$

On cherche une base moins horrible cad qui soit plus adaptée aux scalaires.

Définition: On dit qu'une base est orthonormée si et seulement si on a:

$$q_{ij}= e_i\centerdot e_j = \left \lbrace \begin{array}{l} 0~qd~i\not= j = \delta_{ij}\\ 1~qd~i=j \end{array} \right.$$

Si B est orthonormée $V\centerdot W = x_1y_1 + \hdots + x_ny_n$.

Proposition:
E espave vectoriel + produit scalaire et $\{V_1,\hdots , V_k\}$ famille de k vecteurs de E, telle que le $V_i \centerdot V_j =0$ pout tout $i,j$,$i\not= j$ (2 à 2 orthogonaux) alors c'est une famille libre:

$$\left \lbrace \begin{array}{l} \lambda_1V_1 + \hdots + \lambda_nV_n=0 \\ \lambda_1 = \hdots = \lambda_n =0 \end{array} \right.$$

Dem : $\lambda_1V_1 + \hdots + \lambda_nV_n=0$
$V_i \centerdot ( \lambda_1 V_1 + \hdots \lambda_iV_i ++ \hdots \lambda_jV_j +\hdots \lambda_nV_n ) =0$
En dévelloppant on enlève ceux dont le scalaire est nul (on a dit qu'il étaient orthogonaux deux à deux) on obtient:

$$\lambda_i \centerdot \vert\vert V_i\vert\vert² = 0$$

Comme $\vert\vert V_i\vert\vert²>0$ alors $\lambda_i =0$.

Exercice n^&cir#circ;22

Famille libre de couples de vecteurs orthogonaux

Soit E l'ensemble de fonctions: $E=\{f:[0;2\pi]\to \mathbb{R},~continues \}$
Soit $F\subset E$ le sev engendré par la famille des $2n+1$ fonctions suivantes:
$u_0(t) = 1$, $u_p(t) = \cos (pt)$, $v_p(t)=\sin(pt)$, avec $p=1,\hdots,n$. On a donc des vecteurs et des couples de vecteurs.
On considère sur E le produit scalaire: $F\in E$, $G\in E$

$$f\centerdot g = \int^{2\pi }_0 f(t)g(t)dt$$

- Montrer que la famille précédente est une famille libre.
- Calculer la norme de chacun de ses vecteurs, afin de montrer qu'ils sont 2 à 2 orthogonaux.

On a a calculer :

1. $u_0(t) \centerdot u_p(t) = \int_0^{2\pi} 1 \centerdot \cos(pt) dt$
2. $v_0(t) \centerdot v_p(t) = \int_0^{2\pi} \sin (pt) dt$
3. $u_p(t) \centerdot v_q(t) = \int_0^{2\pi} \cos(pt) \centerdot \sin(qt) dt$
4. $u_p(t) \centerdot u_q(t) = \int_0^{2\pi} \cos(pt) \centerdot \cos(qt) dt~~p\not =q$
5. $v_p(t) \centerdot v_q(t) = \int_0^{2\pi} \sin(pt) \centerdot \sin(qt) dt~~p\not =q$

Il faut que toutes ces intégrales soient nulles.
En dessinant les fonctions sinus et cosinus et en regardant leurs aires, on se rend compte facilement que $\int_0^{2\pi} \sin x = \int_0^{2\pi} \cos x =0$, ce qui résoud les deux premières.

Pour les suivantes il faut se servir du formulaire des examens:

La 3 :

$$\int_0^{2\pi} \cos pt \centerdot \sin qt~dt = \frac{1}{2} \int_0^... ...1}{2} \int_0^{2\pi}\sin(pt+qt) dt + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\sin(pt+qt) dt = 0$$

Même raisonnement pour la 4 la 5 et la 6.

Pour la norme il faut 2 fois le même vecteur:

$$\int_0^{2\pi}\cos²(pt)~dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos(2pt+1)dt + \frac{1}{2}(\cos(pt+pt)+\cos(pt-pt))$$

$$= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\cos(2pt)~dt + \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}dt$$

$$= \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2p} \sin(2pt) \right] _0^{2\pi} + \frac{1}{2}\left[ t \right] _0^{2\pi}$$

$$= \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$$

On trouve la même norme pour v (à faire).

$$\vert\vert u_p\vert\vert = \sqrt{\pi}$$

$$\int_0^{2\pi}dt = \left[ t \right] _0^{2\pi} = 2\pi \Rightarrow \vert\vert u_0\vert\vert = \sqrt{2\pi}$$

Exercice n^&cir#circ;23

Equations de l'hermitte

Polynômes orthogonaux et équations aux dérivées partielles.

$$\forall n \in N~~~~~ y''-2xy'+2ny = 0$$

Ici x n'est pas un coefficient constant, on résoud alors par les séries entières:

$$y_n(x) = a_1y_{n,1}(x) + a_2y_{n,2}(x)$$

$y_{n,1}(x)$ n'a que des puissances paires.
$y_{n,2}(x)$ n'a que des puissances impaires.
de plus on montre :

1. Pour n pair: $y_{n,1}$ polynôme de degré $n$ n'ayant que des puissances paires.
2. Pour n impair: $y_{n,2}$ polynôme de degré $n$ n'ayant que des puissances impaires.

On appelle $H_n(x)$ les polynômes de l'hermitte, ils vérifient :

$$H_{n+1}(x) - 2x H_n(x) + 2nH_{n-1}(x) = 0$$

$$H_0=1~~H_1(x)=2x$$

1. Calculer $H_2$ et $H_3$
2. Sur l'espace vectoriel $E_{n+1}$ des polynômes de degré $\leq n$, on considère le produit scalaire $(P,Q) \to \int_{-\infty}^{\infty} P(t)Q(t)e^{-t²}dt$, montrer que l'on a un produit scalaire.
3. Montrer que si f est impaire ( $f(-x) = -f(x)$) alors $\int_{-a}^af(t)dt=0$
4. En déduire que $\{H_0,H_1,H_2,H_3\}$ est une base de vecteurs 2à2 orthogonaux de $E_4$. Pour cela on utilisera le fait que $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x²}dx = \sqrt{\pi}$

1. $H_2(x) = 4x² - 2$
   $H_3(x) = 8x^3-12x$
   

On a une famille de polynômes $\left\lbrace H_0, \hdots, H_3 \right\rbrace$ que l'on va montrer $\bot$ 2 à 2.

$$\int_{-a}^a f(x) dx = 0 ~~pour~f~impaire$$

$$\int_{-a}^a f(x) dx = 2\times \int_{0}^a f(x) dx ~~pour~f~paire$$

On sait que la fonction $e^{-x²}$ est paire, pour que $Q(x)P(x)e^{-x²}$ soit impaire il suffit que $Q(x)P(x)$ soit une fonction impaire.

$H_0 \centerdot H_1 = 0$
$H_0 \centerdot H_3 = 0$
$H_1 \centerdot H_2 = 0$
$H_2 \centerdot H_3 = 0$

Il nous reste à calculer $H_0 \centerdot H_2$ et $H_2 \centerdot H_3$

$H_0 \centerdot H_2 = \int_{-\infty}^\infty (4x²-2)e^{-x²}dx$
$H_1 \centerdot H_3 = \int_{-\infty}^\infty (2x)(8x^3-12x)e^{-x²}dx$

On en connait une partie, il suffit de calculer: $\int_{-\infty}^\infty x²e^{-x²}dx$ et $\int_{-\infty}^\infty x^4e^{-x²} dx$

A refaire, $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ et $\frac{3\sqrt{\pi}}{4}$