Cas particuliers, fonctions paires et impaires

Fonctions paires

$f(x) = f(-x)$
$f(x) = \frac{1}{2} \left[ f(x) + f(-x) \right]$

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$$

$$f(-x) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n\cos(nx) - b_n \sin(nx) \right]$$

$$f(x) = \frac{1}{2} \left[ f(x) + f(-x) \right] = \sum_{n=0}^\infty a_n\cos(nx)$$

Pour une fonction paire

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cos(nx)$$

Fonctions impaires

$f(-x) = -f(x)$

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$$

$$f(-x) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n\cos(nx) - b_n \sin(nx) \right]$$

$$f(x) = \frac{1}{2} \left[ f(x) - f(-x) \right] = \sum_{n=0}^\infty b_n\sin(nx)$$

Pour une fonction impaire

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n\sin(nx)$$

Exercice n^&cir#circ;7

Fourrier

Soit $f(x) = \left \lbrace \begin{array}{l} 1 ~~~ 0\leq x \leq \pi \\ 0~~~-\pi < x<0 \end{array} \right.$
$f(x+2\pi) = f(x)$
Donner son developpement en séries de Fourrier.

$$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \frac{1}{2}$$

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx =0$$

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx$$

$$=\frac{1}{\pi} \left[ - \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi = \frac{-1}{n\pi} \left[ \cos(nx) \right]_0^\pi =- \frac{1}{n\pi} (\cos(n\pi)-\cos 0)$$

2 cas, suivant la parité de n:

$$b_{2p} = 0$$

$$b_{2p+1} = \frac{2}{\pi n}$$

La solution est donc :

$$f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{p=1}^\infty \left[ \frac{2}{(2p+1)\pi} \sin((2p+1)x) \right]$$

Exercice n^&cir#circ;8

Fourrier

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par :

$$\left \lbrace \begin{array}{l} f(x) = x²~~pour~x\in [-\pi;\pi] \\ f(x+2\pi) = f(x) \end{array} \right.$$

1. Calculer son dev de Fourrier
2. En déduire la valeur des sommes:
   $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n²}$$
   et
   $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n²}$$

3. En déduire la somme de la série
   $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^4-n²}$$

1. La fonction $x²$ est paire, donc $b_n = 0$.
   
   $$a_0=\frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi} f(x) dx = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right] _{-\pi}^\pi$$
   $$= \frac{1}{2\pi} \left( \frac{\pi^3}{3} + \frac{\pi^3}{3} \right) = \frac{2\pi^3}{6\pi}= \frac{\pi^2}{3}$$
   $$a_n = \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi} x² \cos (nx) dx$$
   Comme on souhaite diminuer le degré de $x²$, on prend comme $u=x²$, d'où $u'=2x$, $v'=\cos (nx)$ $v=\frac{\sin (nx)}{n}$.
   On a alors
   $$a_n= \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi} \left( \left[ x² \times \frac{\sin(nx)}{n}\right] _{-\pi}^{\pi} - \int^\pi_{-\pi} 2x\frac{\sin(nx)}{n} dx\right)$$
   Comme $\sin(nx)=0$ alors on a
   $$a_n= \frac{-2}{n\pi}\int^\pi_{-\pi} x\sin(nx)dx$$
   Que l'on doit de nouveau traiter en IPP afin de faire disparaitre le $x$.
   $u=x$, d'où $u'=1$, $v'=\sin (nx)$ $v=\frac{-\cos (nx)}{n}$.
   
   $$a_n = \frac{2}{n\pi}\left ( \left[ \frac{x \cos (nx)}{n} \right]_{-\pi}^\pi + \int^\pi_{-\pi} \frac{cos (nx)}{n} dx \right)$$
   $$a_n = \frac{2}{n\pi}\left[ \left( \frac{\pi \cos (n\pi)}{n} - \f... ...\pi n)}{n} \right) + \frac{1}{n} \int^\pi_{-\pi} \frac{cos (nx)}{n} dx \right]$$
   $$a_n = \frac{2}{n²}\left[ \left( \cos(n\pi) + \cos(-\pi (-n)) \right) + \frac{1}{n} \left[ \sin(nx) \right]_{-\pi}^\pi \right]$$
   $$a_n = \frac{2}{n²}\left[ (-1)^n+(-1)^n \right] = \frac{4(-1)^n}{n²}$$

   D'où :

   $$x² =\frac{ \pi² }{3} + 4\sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^n}{n²} \cos(nx)~~~~~x\in\left[ -\pi \pi\right]$$

2. $$\pi² = \frac{\pi²}{3} + + 4\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n²}$$
   $$\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n²} = \frac{\pi²}{6}$$
   $$\sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n²} = \frac{\pi²}{12}$$

Exercice n^&cir#circ;9

Fourrier

Soit

$$\left \lbrace \begin{array}{l} f(x)=\sin(x) ~~~ 0\leq x \leq \pi \\ f(x)=-\sin(x-\pi) ~~~ -\pi \leq x < 0 \\ \end{array} \right.$$

Fourrierisez moi cette fonction

$$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \sin x dx= \frac{1}{\pi}$$

$$= \int_{0}^\pi \sin x dx= \frac{1}{\pi} \left[ -\cos x \right] _{0}^\pi = \frac{2}{\pi}$$

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \sin x \cos x dx= \frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi \sin x \cos x dx=$$

$$= \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^\pi \sin(x+nx)dx + \int_{0}^\pi \... ...\pi} \left( \int_{0}^\pi \sin(x(n+1))dx + \int_{0}^\pi \sin(x(n-1)) dx \right)$$

$$= \frac{1}{\pi} \left( \frac{-1}{n+1} \left[ \cos(n+1)x \right] _0^\pi +\frac{1}{n-1} \left[ \cos (n-1)x \right] _0^\pi \right)$$

Soit $n=2p+1$ :

$$a_{2p+1} = 0$$

$$a_{2p} = \frac{1}{\pi} \left( \frac{2}{2p+1} - \frac{2}{2p-1} \right) = \frac{-4}{\pi} \times \frac{1}{p²-1}$$

Exercice n^&cir#circ;10

Annales 2003

On considère une barre métalique de longueur $\pi$. Son coefficient de diffusion de la chaleur est de 2, ses extrémitées sont maintenues à 0Â^&cir#circ;C.

$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2 \frac{\partial² u}{\partial x²}$$

Trouver les conditions initiales suivantes:

$$u(x,0) = 5\sin(4x)-3\sin(8x +2 \sin(10x)$$

$$u(x,0) = 25$$

1. Solution générale:
   1. Equation de base:
      $$\frac{\partial u}{\partial t} = 2 \frac{\partial² u}{\partial x²}$$
      avec $u(x,t) = F(x) \times G(t)$
      

      On a $F(x)G'(t) = F''(x)\times G(t) \times 2 = -\lambda²$ (laisser le 2 pour G (qui est plus simple))

      $$\frac{F''(x)}{F(x)} = \frac{G'(t)}{2G(t)}=-\lambda²$$

      Laisser les plus dérivées au dessus pour simplifier les calculs avec le coef $\lambda$.

      $F''(x) + \lambda ² F(x) = 0$
      $G'(t) + 2\lambda ² G(t) = 0$
      

   2. Résolution de $F(x)$

      $F''(x) + \lambda ² F(x) = 0$
      $r²+\lambda² = 0$
      $r=\pm i\lambda$
      $F(x) = C_1 \cos(\lambda x) + C_2\sin(\lambda x)$

   3. Résolution de $G(t)$

      $G'(t) + 2\lambda ² G(t) = 0$
      $r=-2\lambda²$
      $G(t) = C_3 \times e^{-2\lambda²t}$
      

   4. Résolution de $u(x,t)$
      $$u(x,t) = F(x)G(t) = \left[ C_1 \cos(\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x) \right] e^{-2\lambda² t}$$

2. Solution aux bords

   On a dans l'ennonce "les extrémités sont à 0Â^&cir#circ;" d'ou $u(0,t)=u(\pi,t)=0$.

   1. Premier cas $u(0,t)=0$
      $$u(0,t) = \left[ C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) \right] e^{-2\lambda² t}=0$$
      $$u(0,t) = C_1 e^{-2\lambda² t}=0$$

      Or $e^a>0$ donc

      $$C_1=0$$
      .
      

   2. Deuxième cas:
      $$u(\pi,t) = C_2 \sin(\pi\lambda) e^{-2\lambda² t}=0$$

      $e^a>0$ donc

      $$C_2 \sin(\pi\lambda)=0$$
      $$\Rightarrow \lambda \in N$$
      $$\lambda =n~~~~\forall$$

   3. Solution aux bords
      $$u(x,t)= \sum_{n=1}^\infty C_n \sin(nx)e^{-2n²t}$$

3. Première solution particulière
   $$u(x,0) = 5\sin(4x)-3\sin(8x) +2 \sin(10x)$$

   Il suffit de prendre la somme pour $n=4,8,10$:

   $$u(x,t) = 5\sin(4x)e^{-2\times 4²t}-3\sin(8x)e^{-2\times 8²t} +2 \sin(10x)e^{-2\times 10²t}$$

4. Deuxième solution particulière
   $$u(x,0) = 25$$
   1. Recherche de la fonction

      Comme on a un $u(x,t)$ en sinus on va chercher une fonction qui par fourrier va donner des sinus et qui soit égale à 25 entre 0 et $\pi$. Pour donner des sinus la fonction doit avoir $a_n$ et $a_0$ nuls, donc que la fonction soit impaire. On peut définir pour les $x$ négatifs comme on veut.
      

      Soit

      $$\left \lbrace \begin{array}{l} f(x) = 25 0 \leq x \leq \pi \\ f(x) = -25 -\pi \leq x < 0 \\ \end{array} \right.$$

   2. Calcul par fourrier de $f(x)$

      La fonction est impaire donc on calcule uniquement $b_n$.

      $$b_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} f(x) \sin(nx) dx$$

      $f(x)$ impaire $\sin$ impaire, le produit est paire:

      $$b_n = \frac{2}{\pi} \int^\pi_0 f(x) \sin(nx) dx$$

      du coup on connait $f(x)$:

      $$b_n = \frac{2}{\pi} \int^\pi_0 25 \sin(nx) dx$$
      $$b_n = \frac{50}{\pi} \left[ \frac{-\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi$$
      $$b_n = \frac{50}{n\pi} \left[ \frac{-\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi$$
      $$b_n = \frac{50}{n\pi} \left[ -\cos(\pi n) + \cos(0) \right]$$
      $$b_n = \frac{50}{n\pi} \left[ -(-1)^n + 1 \right]$$

      $n=2p+1$

      $$b_{2p} = 0$$
      $$b_{2p+1} = \frac{100}{(2p+1)\pi}$$

   3. Mise en fourrière

      Rappel $a_n = 0$

      $$25 = \sum^\infty_{p=0} \frac{100}{(2p+1)\pi} \sin[(2p+1)x]$$

   Pour cette deuxième solution particulière, on a :
   $$u(x,t) = \sum^\infty_{p=0} \frac{100}{(2p+1)\pi} \sin[(2p+1)x] e^{-2(2p+1)²t}$$