Fonction de période $2L$

Soit une fonction tel que $f(x) = f(x+2L)$.
On a un developpement en série de Fourrier:

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n\sin(\frac{n\pi x}{L}) \right]$$

avec

$$a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) dx$$

$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx$$

$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx$$

Remarque: On trouve aussi la notation suivante:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n\sin(\frac{n\pi x}{L}) \right]$$

Alors

$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx ~~~~~n\geq 0$$

Exercice n^&cir#circ;11

Démonstration

En partant de $u = \frac{\pi}{L} \in [-\pi;\pi]$ trouver le developpement en série de Fourrier pour une fonction de période $2L$, $x = \frac{L u }{\pi} \in [-L;L]$.

...

Exercice n^&cir#circ;12

Fourrier

Par la résolution de l'équation de la corde avec pour conditions initiales: $g(x) = \sum_{n=1}^\infty B_n \omega_n \sin(\frac{n\pi x}{L})$ la vitesse intiale.
La corde est tendue à moitié de sa longueur L, d'une hauteur A. C'est une fonction impaire.
Exprimer par fourrier $B_n$.

$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx$$

impaire $\times$ impaire $\Rightarrow$ paire.

...

$b_{2p}=0$

$b_{2p+1} = (-1)^p \frac{8A}{(2p+1)^2\pi^2}$

d'ou

$$y(x,t) = \frac{8A}{\pi^2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^p \frac{1}{(2p+1)^2} \sin(\frac{(2p+1)\pi x}{L} \cos(\frac{(2p+1)\pi vt}{L}$$