Séries de Fourrier

On souhaite maintenant connaitre les valeurs précises des coefficients $A_n$ et $B_n$, puis montrer qu'ils deviennent de plus en plus petits.

On considère f, $2\pi$ périodique. On veut un développement en séries de Fourrier, on utilise pour cela cette formule :

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$$

avec $(a_n,b_n)\in\mathbb{R}$

$$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)dx$$

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx$$

$$b_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx$$

Comme $b_0=0$ alors on écrit souvent que :

$$f(x) =a_0 \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$$

Théorème

1. Si f est continue sur $[-\pi;\pi ]$ sauf en un nombre fini de points où elle a une limitte à droite et à gauche.
2. Si on veut partager $[-\pi;\pi ]$ en un nombre fini d'intervalle ou $f(x)$ est monotone.

Alors il existe un dévelloppement en série de Fourrier.