Cas de $\mathbb{R}²$ et $\mathbb{R}^3$

Exercice n^&cir#circ;29

matrices $O(2)$ dans $\mathbb{R}²$ et $\mathbb{R}^3$

Soit $O(2)$ l'ensemble des matrices tel que $O(2) = \{ A\in M_2(\mathbb{R}) \vert ^tAA = I \}$. $\left( \begin{array}{cc} a&c\\ b&d \end{array} \right ) A\in O(2)$ Calculer les conditions sur $a,b,c,d$.

1. Cas $\mathbb{R}²$
   

   2. $$^tAA = I \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \... ... \end{array} \right ) =\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right )$$
      $$\left \lbrace \begin{array}{l} a²+b² = 1 \\ c²+d² = 1\\ ac+bd =0 \end{array} \right.$$

      Calcul de $c$ et $d$ en fonction de $a$ et $b$.
      

   3. avec $a\not= 0$
      $$- \frac{bd}{a}²+d² = 1$$
      $$d²(a²+b²) = a² \to d=\epsilon a~~ \epsilon = \pm 1$$
      $$ac = -bd = -b \epsilon a$$
      $$c = -\epsilon b$$
      $$a\not= 0 \left\lbrace \left( \begin{array}{cc} a&-\epsilon b\\ b&\epsilon a \end{array} \right ) , ~~\epsilon = \pm 1~~ a²+b² = 1 \right\rbrace$$

   4. avec $a=0$
      $$b = \pm 1~~~d=0~~~c=\pm 1$$
      Les 4 matrices permettant ceci sont :
      $$\left( \begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0 \end{array} \right ) \left( ... ...d{array} \right ) \left( \begin{array}{cc} 0&-1\\ -1&0 \end{array} \right )$$

   5. on remarque que le cas $a=0$ rentre dans le cadre $a\not= 0$ donc on peut généraliser comme ceci :
      $$\left\lbrace \left( \begin{array}{cc} a&-\epsilon b\\ b&\epsilon a \end{array} \right ) , ~~\epsilon = \pm 1~~ a²+b² = 1 \right\rbrace = 0(2)$$

   6. $^tAA = I$ équivaut à ce que tous les vecteurs colonnes soient de norme 1 et orthogonaux 2 à 2.
      $$det \left( \begin{array}{cc} a&-\epsilon b\\ b&\epsilon a \end{array} \right ) = \epsilon a² -(-\epsilon b²) = \epsilon$$

      $\left( \begin{array}{c} a\\ b \end{array} \right ) \vert a²+b²=1$ équivaut a être sur le cercle trigonométrique.
      Donc $a=\cos(\theta)~~b=\sin(\theta)~~\theta\in [0;2\pi[$
      

      $$\left\lbrace \left( \begin{array}{cc} \cos(\theta)&-\epsilon \sin... ...} \right ) , ~~\epsilon =det(A)= \pm 1~~\theta\in [0;2\pi[ \right\rbrace = 0(2)$$

   7. Pour $\epsilon=det(A)=1$ on a les rotations d'angles $\theta$:
      $$\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta)&- \sin(\theta)\\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{array} \right )$$

   8. Pour $\epsilon=det(A)=-1$ on a les symétries par rapport à D d'angle polaire $\theta / 2$:
      $$\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & -\cos(\theta) \\ \end{array} \right )$$

2. Cas $\mathbb{R}^3$
   
   1. Valeurs propres d'une isométrie.
      

      Soit $u: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ une isométrie, $C$ la base canonique $A= u^C_C$.
      

      Si $\lambda$ est valeur propre, alors $\vert\lambda\vert = 1$
      Si $det(A) = +1$, $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ les vp de A (ou de u). $\lambda_1\lambda_2\lambda_3=1$

      $$(1,1,1)~~~(1,-1,-1)~~~(1,\lambda,\overline{\lambda})~~~~\lambda \in \mathbb{C}$$
      $$(-1,1,1)~~~(-1,-1,-1)~~~(-1,\lambda,\overline{\lambda})~~~~\lambda \in \mathbb{C}$$

   2. On appelle axe $\delta$ de l'isométrie $u$ : Si $det(A) = 1$
      
      $$A=\left\lbrace \lambda V \vert \lambda \in \mathbb{R}~~u(V) = V \right\rbrace$$
      Si $det(A) = -1$
      
      $$A=\left\lbrace \lambda V \vert \lambda \in \mathbb{R}~~u(V) = -V \right\rbrace$$

   3. Forme canonique de la matrice d'une isométrie, Si $det(A) = 1$ $A\in SO(3)$
      $$\exists V \vert AV=V ~~~V\not=0$$
      et donc soit une base orthonormée $B=\{V_1,V_2,V_3\}$ avec $V_3=\frac{1}{\vert\vert V\vert\vert}V$
      

   4. La matrice de u dans la base $\pi$ tq $\pi = \delta^\bot$, $V_1,V_2 \in \pi$, $V_3 \in \delta$
      $u(V_1) \in \pi$
      

      donc

      $$u(V_1)_B = \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ 0 \end{array} \right )$$
      idem pour $V_2$
      $$u(V_2)_B = \left( \begin{array}{c} c\\ d\\ 0 \end{array} \right )$$
      $$u(V_3)_B = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right )$$
      $$u_B^B = \left( \begin{array}{ccc} a&c&0\\ b&d&0\\ 0&0&1 \end{array} \right )$$

   5. Soit $u_/:\pi \to \pi$ u restreint du plan dans le plan.

      Soit $D$ nouvelle base dans le plan $\pi$ $D=\{V_1,V_2\}$

      $$u_/(V_1)_D = \left( \begin{array}{c} a\\ b \end{array} \right ) ~~~ u_/(V_2)_D = \left( \begin{array}{c} c\\ d \end{array} \right )$$
      $$u_{/D}^D = \left( \begin{array}{cc} a&c\\ b&d \end{array} \right )$$

   6. La matrice $\left( \begin{array}{cc} a&c\\ b&d \end{array} \right )$ est la matrice d'une rotation dans $\pi$.
      C'est à dire qu'il existe $\theta$ tel que:
      $$\left( \begin{array}{cc} a&c\\ b&d \end{array} \right ) =\left( \... ...\cos(\theta)& -\sin(\theta)\\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{array} \right )$$

   7. d'où pour $B\{V_1, V_2,V_3 \}$ $V_3$ axe , la matrice est de la forme :
      $$\left( \begin{array}{ccc} \cos(\theta)& -\sin(\theta) & 0\\ \sin(\theta)& \cos(\theta)& 0\\ 0&0&1 \end{array} \right )$$