Transformations orthogonales, isométries

Soit $u:E\to E$ linéaire. $u$ est une transformation orthogonale $\Longleftrightarrow \forall x, ~~x'\in E,~~u(x)\centerdot u(x') = x\centerdot x'$ (conservation du produit scalaire).

$u$ est orthogonal ssi $\{ \forall x \in E~~~ \vert\vert u(x)\vert\vert = \vert\vert x\vert\vert \}$.
$u$ conserve la distance, on dit alors que c'est une isométrie.

Soit $B={e_1,\hdots,e_n}$ base orthonormée de $E$ Ces propositions sont équivalentes :

1. $u$ est une isométrie
2. $\{u(e_1), \hdots, u(e_n) \}$ est une base orthonormée.

Soit $A=u_B^B$ dont les vecteurs colonnes sont $\{u(e_1), \hdots, u(e_n) \}$, alors les colonnes de $A$ forment une base orthonormée de E.

Pour que $A$ soit la matrice d'une isométrie, il faut et il suffit que :

$$^tAA=I$$

Une telle matrice est appelée matrice orthogonale.

Les matrices forment un groupe pour la multiplication. On le note $O(n)$, groupe orthogonal. Il n'est pas commutatif $AB\not= BA$.

$$A\in O(n) ~~~ det~A=\pm 1$$

Le sous groupe (pour le produit) de $O(n)$ des matrices $A$ tq $det~A=\pm 1$ est appelé groupe des rotations, on le note $SO(n)$.

Exercice n^&cir#circ;28

Matrices de rotations dans $\mathbb{R}²$

On recherche les caractéristiques des rotations et symétries dans $\mathbb{R}²$.
Chercher une matrice de rotation d'angle $\theta$. Chercher une matrice de symétrie par rapport à $(Ox)$ d'une droite d'angle polaire $\frac{\theta}{2}$

La matrice de rotation est :

$$\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta) & \cos(\theta + \frac{pi}{... ...heta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{array} \right )$$

Celle de symétrie est :

$$\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & -\cos(\theta) \\ \end{array} \right )$$