Forme canonique de la matrice d'une isométrie

$det(A) = -1$
$AV=-V$
$\delta=\{V \vert \lambda \in \mathbb{R}\}$
$B = \{ \begin{array}{c} \underbrace{V_1,V_2} \\ \pi=\delta^\bot \end{array},V_3 \}$

$$u_B^B = \left( \begin{array}{ccc} a&c & 0\\ b&d& 0\\ 0&0&-1 \end{array} \right )$$

$u_/:\pi \to \pi$ donc

$$u_{/B}^B = \left( \begin{array}{ccc} \cos(\theta)& -\sin(\theta) & 0\\ \sin(\theta)& \cos(\theta)& 0\\ 0&0&-1 \end{array} \right )$$

Composition de la symétrie par rapport à $\pi$ et de la rotation d'angle $\theta$ d'axe $\delta = \{\lambda V\}$

Exercice n^&cir#circ;30

Identifier une isométrie

Soit $A=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} 1&\sqrt{2}&-1 \\ \sqrt{2}&0&\sqrt{2} \\ 1&-\sqrt{2}&-1 \end{array} \right )$

1. Montrer que l'on a une matrice d'une isométrie.
2. Identifier géométriquement cette isométrie (axe et angle).
3. Donner $A^n$ et sa périodicité.

$$^tAA = \frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 &0\\ 0&4&0 \\ 0&0&4 \end{array} \right ) = I$$

$$det(A) = dt \left( \frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} 1&\sqrt{2}&-1 \\ \sqrt{2}&0&\sqrt{2} \\ 1&-\sqrt{2}&-1 \end{array} \right ) \right)$$

!!! PIEGE !!! $\frac{1}{2^3}$ (3 colonnes).

$$= \frac{1}{2^3} \left\vert \begin{array}{ccc} 0&\sqrt{2}&-1 \\ 2\sqrt{2}&0&\sqrt{2} \\ 0&-\sqrt{2}&-1 \end{array} \right \vert$$

$$= 1$$