Théorème d'existence des bases orthonormées

Soit le sev $F\subset E$, $dim(E) = n$, et soit $\left\lbrace e_1 \hdots e_p\right\rbrace$ base orthonormée de $F$ alors il existe une base orthonormée $\left\lbrace e_1 \hdots e_p , e_{p+1} \hdots e_n \right\rbrace$.

Si $F\subset E$,

$$E=F \oplus F^\bot$$

$$(F^\bot)^\bot=F$$

Tout vecteur de E sera décomposable (engendré) par un vecteur de $F$ et de $F^\bot$.

Exercice n^&cir#circ;24

Recherche d'une base orthonormée

On considère la droite $d$ d'équation : $\left \lbrace \begin{array}{l} x_1 - x_2 = 0 \\ x_2 - x_3 = 0 \end{array} \right.$
Donner une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ commencant par un vecteur de $d$.

On cherche un vecteur non nul de $R^3$ répondant à l'équation, qu'on recoupera à la bonne norme aprés.

On a forcément des multiples, on prend le plus simple: $\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right )$, il en faut deux autres 2 à 2 orthogonaux pour trouver la base, on cherche donc que le deuxième ait des coordonnées répondant à $x_1 \times x_2 +y_1 \times y_2+z_1 \times z_2 = 0$ d'ou $\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right )$ le troisième doit être orthogonal aux deux autres $\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ -2 \end{array} \right )$.
Comme on les veut orthonormés de norme 1, on applique $\frac{1}{\sqrt{x²+y²z²}}\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right )$.

$$\frac{1}{\sqrt{3}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \... ...ht ) \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ -2 \end{array} \right )$$

Exercice n^&cir#circ;25

Recherche d'une base orthonormée

Trouver la base orthonormée de $R^3$ de $\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array} \right )$

...

Proposition: Soit $\left\lbrace e_1 \hdots e_n\right\rbrace$ base orthonormée de E.
$\forall x \in E$ on a $x=\sum^n_{i=1}(e_1\centerdot x)e_i$

$$x=\sum^n_{i=1}x_i\centerdot e_i$$