Expression complexe des séries de Fourrier

$$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$$

$$e^{-i\theta} = \cos(\theta) - i\sin(\theta)$$

$$\cos(\theta) = \frac{1}{2} (e^{i\theta} +e^{-i\theta})$$

$$\sin(\theta) = \frac{-i}{2} (e^{i\theta} - e^{-i\theta})$$

Pour l'étude d'une fonction qui est sur le schéma $h: \mathbb{R}\to \mathbb{C}$, on utilisera deux fonctions $h_1h_2 : \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ telles que :

$$h(x) = h_1(x) + i\times h_2(x)$$

alors

$$\int_a^b h(x) dx = \int_a^b h_1(x) dx + i\times \int_a^b h_2(x) dx$$

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty C_n e^{\frac{i n \pi x}{l}}$$

avec

$$C_n = \frac{1}{2 l} \int_{-l}^l f(x) e^{\frac{i n \pi x}{l}} dx$$

Exercice n^&cir#circ;13

Démonstration

Démontrer la propriété précédente

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cos(\frac{i n \pi x}{l}) + b_n \sin (\frac{i n \pi x}{l})$$

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{2} \left( e^{\frac{i n \pi x... ...{ ib_n}{2} \left ( e^{\frac{i n \pi x}{l} }+ e^{\frac{-i n \pi x}{l}} \right)$$

Puis en mettant en facteur les $e$ on arrive à (!compléter!):

$$\sum_{n=0}^\infty e^{\frac{i n \pi x}{l} } \left[ \frac{a_n - ib_... ...sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{i n \pi x}{l} } \left[ \frac{a_n + ib_n}{2} \right]$$

$$a_n = \frac{1}{2 l} \int_{-l}^l f(x) \left( e^{\frac{i n \pi x}{l}} + e^{\frac{-i n \pi x}{l}} \right ] dx$$

$$b_n = \frac{1}{2 l} \int_{-l}^l f(x) \left(-i e^{\frac{i n \pi x}{l}} + i e^{\frac{-i n \pi x}{l}} \right ] dx$$

On remplace :

$$\frac{a_n - ib_n}{2} = \frac{1}{2l} \int_{-l}^l f(x) e^{\frac{ -i n \pi x}{l}} dx$$

$$\frac{a_n + ib_n}{2} = \frac{1}{2l} \int_{-l}^l f(x) e^{\frac{ -i n \pi x}{l}} dx$$

Avec $n\in Z$:

$$C_n = \frac{1}{2l} \int_{-l}^l f(x) e^{\frac{ -i n \pi x}{l}} dx$$

Identité de Perceval (somme des carrés des coefficients):

$$\frac{1}{l}\int_{-l}^l \left ( f(x) \right)^2 dx = 2a_0² + \sum^\infty_{n=1} \left(a_n² + b_n² \right)$$

Exercice n^&cir#circ;14

Identité de Perceval

Montrer que $\frac{1}{l}\int_{-l}^l \left ( f(x) \right)^2 dx = 2a_0² + \sum^\infty_{n=1} \left(a_n² + b_n² \right)$

$$\frac{1}{l}\int_{-l}^l \left ( f(x) \right)^2 dx = \frac{1}{l}\i... ...}^\infty a_n \cos(\frac{n \pi x}{l}) + b_n \sin(\frac{n \pi x}{l} )\right ) dx$$

$$= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) a_n \cos... ...}{l})dx + \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) b_n \sin(\frac{n \pi x}{l})dx \right)$$

$$= \sum_{n=0}^\infty \left( a_n l \times \frac{a_n}{l} + b_n l \frac{b_n}{l} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( a_n² + b_n² \right)$$

Exercice n^&cir#circ;15

Application de Parceval

1. dev en série de cos : $f(x) = x$ avec $0\leq x \leq 1$
2. Via Parceval calculer: $\sum_{p=0}^\infty \frac{1}{(2p+1)^4}$
3. Via Parceval calculer: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$

1. $$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{0}^1 x dx = [ \frac{x²}{2} ]_0^1 = \frac{1}{2}$$
   $$a_n = \int_{-1}^1 f(x) \cos(n\pi x) dx = 2\int_0^1 x \cos(n\pi x) dx$$
   $$= \frac{2}{n²\pi²} [ \cos (n \pi x ) ]_0^1 = \frac{2}{n²\pi²} \left( (-1)^n -1 \right)$$
   $$a_{2p} = 0$$
   $$a_{2p+1} = \frac{-4}{(2p+1) \pi²}$$
   $$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi²} \sum_{p=0}^\infty \frac{1}{(2p+1)²}\cos((2p+1)\pi x)$$

2. Avec Parceval
   $$\frac{1}{l} \int_{-1}^1 x² dx = 2a_0² + \sum^\infty _{n=1} an² = \frac{1}{2} + \frac{16}{\pi^4} \sum_{p=0}^\infty \frac{1}{(2p+1)^4}$$

Exercice n^&cir#circ;16

Fourrier sous forme complexe

Soit $f(x)$ périodique de période $2l$ $f(x) \left \lbrace \begin{array}{l} f(x)=0 ~~~ -l<x<-\frac{\alpha}{2}\\ f(x)... ...{2}<x< \frac{\alpha}{2}\\ f(x)=0 ~~~ \frac{\alpha}{2}<x<l \end{array} \right.$

1. Calculer son développement en série de fourrier sous forme complexe.
2. En déduire le développement réel.

$$C_n = \frac{1}{2l} \int_{-l}^l f(x) e^{\frac{ -i n \pi x}{l}} dx$$

$$= \frac{a}{2l} \left[ \frac{l}{-in\pi}e^{\frac{-in\pi x}{l}} \right] ^\frac{\alpha}{2}_\frac{\alpha}{2} ~~~\vert n\not=0$$

$$= \frac{a}{n\pi} \left[ \frac{i}{2}\left( e^{\frac{-in\pi\alpha}{2l}} - e^{\frac{+in\pi\alpha}{2l}}\right) \right] ~~~\vert n\not=0$$

$$= \frac{a}{n\pi} \sin\frac{n\pi\alpha}{2l} ~~~\vert n\not=0$$

Il nous faut calculer la valeur pour $n=0$

$$C_0 = \frac{1}{2l} \int ^\frac{\alpha}{2}_\frac{\alpha}{2} a ~dx = \frac{\alpha a }{2l}$$

D'où

$$f(x) = \frac{\alpha a }{2l} + \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{n} \sin\frac{n\pi\alpha}{2l} e^{\frac{in\pi x}{l}}$$

$$f(x) = \frac{\alpha a }{2l} + \frac{a}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \fr... ...\pi x}{l}} + \frac{1}{- n} \sin\frac{-n\pi\alpha}{2l} e^{\frac{i(-n)\pi x}{l}}$$

$$f(x) = \frac{\alpha a }{2l} + \frac{a}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \f... ...ac{n\pi\alpha}{2l}\left( e^{\frac{in\pi x}{l}} + e^{\frac{-in\pi x}{l}}\right)$$

D'ou le dev de fourrier dans les Réels :

$$f(x) = \frac{\alpha a }{2l} + \frac{2a}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \sin\frac{n\pi\alpha}{2l} \cos\frac{n\pi x}{l}$$