Equation des ondes, cas d'une corde vibrante

Présentation et but

1. longueur $l$
2. densité uniforme $\rho$
3. tension $\Gamma$

Le mouvement est décrit par une fonction $y(x,t)$, par exemple la fonction d'onde pour t fixé est:

Le but est d'obtenir $y(t)$ décrivant le mouvement.

Exercice n^&cir#circ;5

Méthode de résolution par variables séparables.

Par modélisation on vérifie que pour des petites vibrations $y(x,t)$ vérifie une équation des ondes :

$$\left(I \right) ~~~ \frac{\partial ²y}{\partial x²} = \frac{1}{v²} \frac{\partial ²y}{\partial t²} ~~~ avec~v²=\frac{\Gamma}{\rho}$$

avec des conditions:

1. condition au bord (en x)
   $$y(0,t) = y(l,t)=0~~\forall t$$

2. condition initiale (pour $t=0$)
   la position initiale $y(x,0)=f(x)$
   En dérivant une fois $\left( \left. \frac{\partial y}{\partial t} \right \vert _{t=0} \right) =g(x)$.

Quelles fonctions $y(x,t)$ vérifient $(I)$? On cherche les solutions sous la forme de fonction $y(x,t) = F(x) \times G(t)$

1. On remplace dans $(I)$.
   $$\frac{ \partial ² \left( F(x) \times G(t) \right) }{\partial x²} = \frac{1}{v²}\frac{\partial ² \left( F(x) \times G(t) \right) }{\partial t²}$$

   Par rapport à $x$, $G(t)$ est constant.
   Par rapport à $t$, $F(x)$ est constant.
   

   $$G(t) F''(x) = \frac{1}{V²} F(x) \times G''(t)$$
   On regroupe les x et les t.
   $$\begin{array}{c} \underbrace{\frac{1}{F(x)}\times F''(x)} \\ ... ...\ (\forall t, \forall x) cst~qd~t~varie \end{array} = -\lambda²$$
   $\Rightarrow$ il existe des constantes $-\lambda²$ négatives (dans ce cas précis) afin de cadrer dans un contexte physique.
2. On obtient donc deux équations différentielles:
   $$F''(x) + \lambda²F(x) = 0 ~~~avec~y(0,t) = y(l,t)=0$$
   $$G''(t)+ \lambda ²v²G(t)=0 ~~~avec \left \lbrace \begin{array}{l} y(x,0) = f(x) \\ \frac{\partial y}{\partial t}_{t=0} = g(x) \end{array} \right.$$

3. $r²+\lambda ²=0$, $r²=-\lambda ²$, $r²=i²\lambda ²$, $r_1=i\lambda ~~r_2=-i\lambda$ d'où :
   $$F(x) = C_1\cos(\lambda x) + C_2\sin(\lambda x)$$

4. $$y(0,t) = F(0) \times G(t) = 0 ~~~\forall t$$
   Comme $G(t) \not = 0$, alors on cherche $F(0)=0$.
   

   de même

   $$y(l,t) = F(l) \times G(t) = 0 ~~~\forall t$$
   Comme $G(t) \not = 0$, alors on cherche $F(l)=0$.
   

   On va chercher un ensemble de solution basé sur les conditions initiales, et on restreindra cet ensemble à certains $\lambda$ avec $F(0)=0$.

5. Pour $F(O) = 0$ on aura donc:
   $$F(0) = C_1 \cos(0) + C_2\sin(0) =C_1\times 1 + C_2\times 0 = C_1$$
   donc comme $\cos(0)=1$, $C_1 = 0$
   $F(x) = C_2\sin(\lambda x)$, $C_2 \in \mathbb{R}$
   

6. $$F(l) = C_1 \cos (\lambda l) + C_2\sin(\lambda l)$$
   or comme $C_1 = 0$ $C_1 \cos (\lambda l)=0$

   donc on a

   $$F(l) = C_2 \sin(\lambda l)=0$$
   La solution est une suite de valeur, pour chaque $\lambda$ il y a une seule équation diff en F et une seule en G.
   $$\sin(\lambda l)=0 \Longleftrightarrow \lambda _n = \frac{n \pi}{l} ~~~\vert n \in N$$
   $$F_n(x) = \alpha_n \sin \frac{n \pi x}{l}$$

7. G maintenant : $G''(t) + \lambda ²_nv²G(t) = 0$
   Classiquement on pose $\omega_n = \lambda _nv = \frac{n\pi}{l}$
   Donner les solutions: $G''(t) + \omega_nG(t) =0$
   $r²+\omega²_n = 0$, $r_{1,2} = \pm i\omega$
   
   $$G_n(t) = A_n \cos(\omega t) + B_n \sin( \omega t)$$

8. On a fait pour le moment dans le cas des conditions aux bornes
   $$\begin{array}{c} y_1(x,t) = F_1 (x) \times G_1(t) = \left( \s... ...n\left( \omega t\right)\right)\\ \vdots \\ \infty \end{array}$$

   On a donc pour chaque n une famille de solutions (pour $B_n$ et $A_n$ $\in \mathbb{R}$):

   $$y_n(x,t) = F_n (x) \times G_n(t) = \left( \sin\left(\frac{n\pi x ... ...imes \left( A_n \cos\left(\omega t\right)+B_n \sin\left( \omega t\right)\right)$$

9. Si l'on veut la condition initiale $y_n(x,0) = f(x)$, on a des tas de points de départs, et pas seulement des fonctions sinus comme dans $f(x) = A_n \sin\frac{n\pi x}{l}$, par exemple pour une corde de guitare on a pour $t=0$ un angle à l'endroit où l'on tient la corde.
   C'est pourquoi il existe le principe de superposition, par linéarité de : $\frac{ \partial ² \left( F(x) \times G(t) \right) }{\partial x²} = \frac{1}{v²}\frac{\partial ² \left( F(x) \times G(t) \right) }{\partial t²}$
   

   On obtient (pour $B_n$ et $A_n$ $\in \mathbb{R}$ et $n \in N$) la solution générale de (I) avec la condition aux bords:

   $$y(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{n\pi x }{l}\right) \times \left[ A_n \cos\left(\omega t\right)+B_n \sin\left( \omega t\right)\right]$$

10. Maintenant avec les conditions initiales, Il faut trouver le passage $y(x,t) \Rightarrow g(x)$, avec $\left . \frac{\partial y}{\partial t} \right \vert _{t=0}$.

    $(t=0)$, $y(x,0) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin \frac{n\pi x}{l}$,

    On dérive : $y(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{n\pi x }{l}\right) \times \left[ A_n \cos\left(\omega t\right)+B_n \sin\left( \omega t\right)\right]$

    $$\left . \frac{\partial y}{\partial t} \right \vert _{t=0} = g(x) = \sum_{n=1}^\infty B_n \omega_n \sin(\frac{n\pi x}{l} )$$
    $$y'(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \omega -\sin(\omega t) + \omega B_n \cos(\omega t)$$

    il n'y a qu'un mouvement possible

    $$y'(x,0) = y(x,0) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin \frac{n\pi x}{l}$$

Exercice n^&cir#circ;6

Séparation de variable

Par la méthode de séparation des variables, trouver la solution du problème aux limites suivantes:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 4 \frac{\partial u}{\partial y} ~~ u(x,y)$$

avec:

1. $u(0,y) = 8e^{-3y}$
2. $u(0,y) = 8e^{-3y} + 4e^{-5y}$

Ici il n'y a pas de $-\lambda²$ car on peut avoir des cas négatifs (aucune contrainte physique).
$u(x,y) = F(x)\times G(y)$

$$\frac{\partial (F(x)\times G(y))}{\partial x} = 4 \frac{\partial (F(x)\times G(y))}{\partial y}$$

$G(y)\times F'(x) = 4 ( G'(y) \times F(x) )$
$G(y) \times F'(x) -4G'(y) \times F(x) =0$

On regroupe les F et les G de chaque côtés et on dit qu'ils sont égaux à $\lambda$.

$$\frac{1}{4} \frac{F'(x)}{F(x)} = \frac{G'(y)}{G(y)} = \lambda$$

$$F'(x)-4\lambda F(x)=0 \Rightarrow F(x)=C_1 e^{4\lambda x}$$

$$G'(y)-\lambda G(y)=0 \Rightarrow G(y)=C_2 e^{\lambda y}$$

Toutes les solutions sont des sommes de : $u(x,y) = C_1 e^{4 \lambda x} e^{\lambda y}$ On regroupe les C :

$$u(x,y) = Ce^{4 \lambda x+\lambda y}$$

1. Pour $u(0,y) = 8e^{-3y}$
   Comme $u(0,y) = Ce^{\lambda x}$
   Alors $u(x,y) = 8e^{-12x-3y}$

2. Pour $u(0,y) = 8e^{-3y} + 4e^{-5y}$
   $u(x,y) = C_1e^{4 \lambda_1 x+\lambda_1 y}+C_2e^{4 \lambda_2 x+\lambda_2 y}$
   $C_1=8~~\lambda_1=-3~~~C_2=4~~\lambda_2=-5$