Dérivées partielles

Soit $f(x;y)$, $\frac{\partial f}{\partial x}$ est la dérivée de $f(x;y)$ pour y constant.
$\frac{\partial f}{\partial y}$ est la dérivée de $f(x;y)$ pour x constant.

Rappel: Théorème de Schwartz, $f''_{xy} = f''_{yx}$.

Exercice n^&cir#circ;3

Dériver par rapport à y

Soit $f(x;y) = xy² \times e^{xy}$, dérivez selon y.

On a un produit, on dérive selon le shéma $(u \times v)' = u'v - uv'$ comme on recherche $\frac{\partial f}{\partial y}$, x est constant donc $u=xy²~~v=e^{xy}$, $u'=2y~~v'=xe^{xy}$.

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2ye^{xy}-x²y²e^{xy} = xye^{xy}(2+xy)$$

Exercice n^&cir#circ;4

Dériver par rapport à x

Chercher $\frac{\partial g}{\partial x}$ pour $g(x,y) = \sin x \times e^y$

On dit que l'on a bien une fonction à deux variables séparées, car on a $e^y$ et pas par exemple $e^{xy}$.

$$\frac{\partial g}{\partial x} = \sin x \frac{\partial e^y}{\partial y} = \sin x (e^y)' = \sin x e^y$$