Exemples

Exercice n^&cir#circ;1

Sans second membre, deuxième degré

Résoudre l'équation différentielle suivante

$$y''+a²y =0$$

1. Polynôme caractéristique : $r²+a²=0$
2. Discriminant: $\Delta = B²-4AC$, $A=1~B=0~C=a²$, $\Delta = -4a²$, $a²>0$ donc $\Delta < 0$,
3. Solutions: $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a} = \pm ia$
4. On choisit une solution : $ia$, elle n'a pas de solution réelle ce qui simplifie la solution de l'équation différentielle.
   $$y(x) = \lambda_1 \sin (ax) + \lambda_2 \cos (ax)$$

Exercice n^&cir#circ;2

Avec second membre, troisième degré

Résoudre l'équation différentielle suivante

$$y'''-y =2\sin x$$

1. Polynôme caractéristique : $r^3-1=0$
2. 2 manières de rechercher la solution:
   1. Par factorisation
      1. 1 racine évidente $r=1$
      2. factorisation par $(r-1)$:
         $$r^3-1 = (r-1)(ar²+br +c)=0$$
         $$= ar^3 +br² +cr -ar² -br -c = 0$$
         $$= ar^3 +r²(b-a) +r(c-b) -c =0$$
         $$a=1~c=1~b-a=0~b=1$$
         $$= (r-1)(r²+r+1)$$

      3. Résolution de l'équation du second degré: $\Delta = b²-4ac=1-4=-3$, d'où $r_1=1~~r_{2,3} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\frac{-1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}$
      4. Il faut prendre une des valeurs conjuguées lorsque l'on a des racines doubles, et les autres (réelles).
      5. La solution est:
         $$y(x) = \begin{array}{c} \underbrace{\left\lbrace \left( \lambda_... ...ay} + \begin{array}{c} \underbrace{\lambda_3 e^{x}} \\ vient~de~r_1 \end{array}$$

      6. Pour conclure, la ssm est un espace vectoriel de dimension 3 dont la base est constituée par les 3 solutions.
   2. Par le cercle trigonométrique.
      1. On remarque que $r^3 =1$ consiste à chercher les racines cubiques de 1.
      2. On prend le cercle trigo, on trace dedans un triangle équilatéral en partant de 1 dans les réel et 0 dans les imaginaires, on remarque qu'il passe par 3 points. Il commence donc par 1, passe par le point de coordonnées $\frac{-1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}$ et par $\frac{-1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}$ qui est conjugué.
      3. On procède comme précédemment.
3. Le second membre est $2\sin x$, il est sous la forme $A \cos(\omega x)+B \sin(\omega x)$, ici $\omega = 1$ donc $y=a\sin x + b\cos x$, on dérive 3 fois $y$, $y'''=b\sin x-a\cos x$, puis on remplace dans l'équation de départ, $y'''-y=(b-a)\sin x - (b+a) \cos x = 2\sin x$, $b-a=2~ a+b=0~ b=a+2~ a=-1~b=1$, la solution particulière est donc $\cos x -\sin x$.
4. La solution générale est la somme de la solution de l'équation sans second membre et de la solution particulière.
   $$y(x) = \left( \lambda_1 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) e^{-\frac... ...frac{\sqrt{3}}{2} \right) e^{-\frac{1}{2}x} + \lambda_3 e^{x} + \cos x -\sin x$$