Intégrale de Fourrier, transformée de Fourrier

Le but est de s'affranchir de la périodicité $2l$, on passe de discret a continu en tendant l à l'infini.

Intégrale de Fourrier.

$$f(x)=\frac{1}{2\pi} \int^\infty_{-\infty} F(\alpha) e^{i\alpha x}dx$$

On "somme" sur des fréquences $\alpha$

$$F(\alpha) = \int^\infty_{-\infty}e^{i\alpha u}du$$

Soit $f(x)$ tel que:

1. $f(x)$ et $f'(x)$ sont continues par morceaux dans tout intervalle fini et en tout point de discontinuté $x_0$, on pose:
   $$f(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{ f(x_0 + \epsilon) + f(x_0 - \epsilon)}{2}$$
   On prend la moyenne à chaque discontinuité.

2. il existe :
   $$\int^\infty_{-\infty} \vert f(x)\vert dx$$

Alors :

Intégrale de Fourrier

$$f(x)=\int^\infty_{0} \left[ A(\alpha)\cos(\alpha x) + B(\alpha)\sin(\alpha x) \right] d \alpha$$

avec

$$A(\alpha) = \frac{1}{\pi} \int^\infty_{-\infty} f(x) \cos(\alpha x)dx$$

$$B(\alpha) = \frac{1}{\pi} \int^\infty_{-\infty} f(x) \sin(\alpha x)dx$$

Et avec pour simplification: si $f(x)$ est paire $B(\alpha)=0$.
si $f(x)$ est impaire $B(\alpha)= \frac{2}{\pi} \int^\infty_{-\infty} f(x) \sin(\alpha x)dx$

Exercice n^&cir#circ;17

Une impulsion rectangulaire

Soit $f(x) \left \lbrace \begin{array}{l} f(x)=S ~~~ -k<x<k \\ f(x)=0 ~~~ x<-k \\ f(x)=0 ~~~ x>k \end{array} \right.$ Calculer $f(x)$ par les intégrales.

1. $$A(\alpha) = \frac{1}{\pi} \int^\infty_{-\infty} f(x) \cos(\alpha x)dx$$
   $$= \frac{1}{\pi} \int^k_{-k}f(x) \cos(\alpha x)dx = \frac{2}{\pi} \int^0_{-k}f(x) \cos(\alpha x)dx$$
   $$= \frac{2S}{\alpha \pi} \left[ \sin(\alpha x)\right] _0^k = \frac{2S}{\alpha \pi} \sin(\alpha k)$$

2. $$B(\alpha) = \frac{1}{\pi} \int^\infty_{-\infty} f(x) \sin(\alpha x)dx$$
   $$= \frac{1}{\pi} \int^\infty_{-\infty} f(x) \sin(\alpha x)dx = \frac{1}{\pi} \int^k_{-k} f(x) \sin(\alpha x)dx$$
   $$=\frac{S}{\alpha\pi} \left[ \cos(\alpha x) \right] _{-k}^k = \frac{S}{\alpha\pi}\times 0 = 0$$

3. $$f(x)=\int^\infty_{0} \left[ A(\alpha)\cos(\alpha x) + B(\alpha)\sin(\alpha x) \right] d \alpha$$
   $$f(x) =\int^\infty_{0} \frac{2S}{\alpha \pi} \sin(\alpha k) \cos(\alpha x) d\alpha$$
   $$f(x) = \frac{2S}{\alpha \pi} \int^\infty_{0} \frac{ \sin(\alpha k)}{\alpha} \cos(\alpha x) d\alpha$$

Exercice n^&cir#circ;18

Le retour de la barre métalique

Cette fois ci la barre à une longueur infinie, l'origine est constamment à 0^&cir#circ;C.
Son équation de la chaleur est :

$$\frac{\partial u}{\partial t} =k \frac{\partial² u}{\partial x²}$$

Montrer que

$$u(x,t) = \frac{2}{\pi} \int_0^\infty\int_0^\infty f(u) e^{-\lambda²tk} \sin(\lambda u) \sin(\lambda x) d\lambda du$$

Par séparation des variables on obtient:

$$u(x,t) = \left( A\cos (\lambda x) + B\sin (\lambda x)\right)e^{-k\lambda²t}$$

avec $u(0,t)=0$ on trouve

$$u(x,t) = B\sin (\lambda x)e^{-k\lambda²t}$$

$\lambda \in [0 ; +\infty[$

La somme ici sera alors :

$$u(x,t) = \int_0^\infty B(\lambda) \sin (\lambda x)e^{-k\lambda²t} d\lambda$$

$$u(x,0) = f(x) = \int_0^\infty B(\lambda) \sin (\lambda x) d\lambda$$

$f(x)$ doit être impaire, on la définie sur $\mathbb{R}$ avec

$$C(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(u) \sin(\alpha u) du$$

La SG pour cette condition initiale est :

$$u(x,t) = \int_0^\infty \begin{array}{c} \underbrace{ \frac{2}{\pi... ...lambda u)du } \\ B(\lambda) \end{array} \sin(\lambda x)e^{-\lambda²kt} d\lambda$$

$$u(x,t) = \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \int_0^\infty f(u)\sin(\lambda u)du \sin(\lambda x)e^{-\lambda²kt} du~ d\lambda$$

Exercice n^&cir#circ;19

Corde de longueur infinie

$$\left \vert \begin{array}{l} u(x,0) = f(x)\\ u'_t(x,t) \left\vert _{t=0} = 0\right. \end{array}\right.$$

$$\vert u(x,t) \leq M$$

$$\frac{\partial² u}{\partial t²} =a² \frac{\partial² u}{\partial x²}$$

$t>0 ~~~ -\infty < x < +\infty$

1. Donner la solution générale de ce problème.
2. Montrer que l'on a la solution :
   $$u(x,t)= \frac{1}{2} ( f(x+at)+f(x-at))$$

Mettre les a avec les G

$$u(x,t)= \cos(\lambda at) (A(\lambda) \cos(\lambda x) + B(\lambda) \sin(\lambda x))$$