Recherche d'une solution particulière

Elle dépend de la forme du second membre.

1. Cas ou le second membre est un polynôme de degré n.
   $$ay'' + by' + cy = a_0 +a_1x+a_2x²+ \hdots + a_nx^n$$
   1. Si $c \not = 0$ on cherche une solution particulière $y_p$ sous la forme d'un polynôme de degré $n$.
   2. Si $c =0$ et $b\not= 0$ on cherche une solution particulière $y_p$ sous la forme d'un polynôme de degré $n+1$.
   3. Si $c=b=0$ on integre 2 fois de suite le second membre.
2. Cas ou le second membre est de la forme $P^{(n)}(x) e^{\alpha x}$.
   1. Si $\alpha$ n'est pas racine de $(P)$ on cherche $y_p$ sous la forme $y_p = Q^{(n)}(x) e^{\alpha x}$

   2. Si $\alpha$ est racine simple de $(P)$ on cherche $y_p$ sous la forme $y_p = Q^{(n+1)}(x) e^{\alpha x}$

   3. Si $\alpha$ est racine double de $(P)$ on cherche $y_p$ sous la forme $y_p = Q^{(n+2)}(x) e^{\alpha x}$
3. Cas ou le second membre est de la forme $A \cos(\omega x)+B \sin(\omega x)$.
   1. Si $i \omega$ n'est pas racine de $(P)$ on cherche $y_p$ de la forme $y_p = \lambda_1 \cos(\omega x)+\lambda_2 \sin( \omega x)$.
   2. Si $i \omega$ est racine de $(P)$ on cherche $y_p$ de la forme $y_p = \left[ \lambda_1 \cos(\omega x)+\lambda_2 \sin( \omega x)\right] \times x$.