Résolution de l'équation homogène

On associe à l'équation homogène son polynôme caractéristique.

Si du second degré, on a $\Delta = b²-4ac$, si de degré supérieur chercher racine évidente afin de retomber sur un polynôme de second degré.

1. Si $\Delta > 0$ le polynôme admet 2 racines réelles $r_1$ et $r_2$, avec $r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
   L'équation homogène a pour solution:

   $$y = \lambda_1 e^{r_1x}+\lambda_2 e^{r_2x}$$

2. Si $\Delta = 0$ le polynôme admet une racine double $r=-\frac{b}{2a}$
   L'équation homogène a pour solution:

   $$y=\left( \lambda_1x + \lambda_2 \right) e^{rx}$$

3. Si $\Delta < 0$ le polynôme admet 2 racines complexes conjuguées $r_1$ et $r_2$, $r_{1,2}=\alpha \pm i \beta$, avec $r= \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
   L'équation homogène a pour solution:

   $$y=\left( \lambda_1 \sin(\beta x) + \lambda_2 \cos(\beta x) \right) e^{\alpha x}$$